A quantum-like tensor state model for bivariate time series in forestry and residential construction

O czym jest ten artykuł?

Punkt wyjścia stanowi proste pytanie: jak opisać wspólną dynamikę pozyskania drewna w lasach i budownictwa mieszkaniowego w polskich województwach, kiedy relacja między tymi dwiema wielkościami wyraźnie zmienia się w czasie – od silnie dodatniej korelacji, przez dekorelację, aż po okresy, w których idą one w przeciwnych kierunkach?

Na Rysunku 1 widać, że średnie znormalizowane poziomy obu procesów rosną w długim okresie, ale lokalne wahania są zupełnie różne: czasem budownictwo „wyrywa się do przodu”, a czasem to leśnictwo nadrabia zaległości. Tego typu wzorce trudno uchwycić jednym prostym równaniem liniowym.

Zamiast klasycznego wektora równań regresyjnych proponuję ujęcie inspirowane mechaniką kwantową: każdą parę procesów w danym roku opisuje wspólny stan tensora w czterowymiarowej przestrzeni Hilberta, a przejście do kolejnego okresu odbywa się za pomocą jednostkowego operatora o strukturze dwukubitowej. Taki stan można interpretować jako „rozkład amplitud” pomiędzy czterema konfiguracjami: niskie/wysokie odchylenia w sektorze leśnym i budownictwie.

Rysunek 1. Średnie znormalizowane poziomy pozyskania drewna (zielone) i budownictwa mieszkaniowego (czerwone) w Polsce, wraz z 3‑letnimi średnimi kroczącymi.

Jak wygląda model tensora?

W pierwszym kroku klasyczny panel danych (16 województw, lata 2005–2025) opisuję za pomocą prostych równań regresji OLS, które przewidują znormalizowane poziomy pozyskania drewna i budownictwa na podstawie trendu i kilku cech pomocniczych. Na tej bazie powstają reszty – czyli to, czego model liniowy nie wyjaśnił.

Te dwie resztowe serie koduję następnie w czterowymiarowym stanie tensora |ψ_t⟩, który agreguje informację o tym, czy w danym roku obserwujemy niskie czy wysokie odchylenia w obu sektorach.

Z odnowionego stanu |ψ_t+1⟩ odczytuję następnie prognozowane amplitudy reszt dla obu sektorów i dodaję je z powrotem do przewidywań OLS. W efekcie powstaje dwustopniowy model: prosty komponent klasyczny, a na nim „korekta kwantowo‑tensoryczna”, która przechwytuje nieliniowe, zmienne w czasie relacje pomiędzy leśnictwem i budownictwem.

Struktura danych w tle modelu

Zanim przejdę do porównania z benchmarkami, warto spojrzeć na to, jak wyglądają same szeregi we wszystkich 16 województwach. Rysunek 2 pokazuje znormalizowane poziomy pozyskania drewna, a Rysunek 3 – odpowiadające im szeregi budownictwa mieszkaniowego. Widać wyraźnie, że regiony poruszają się po podobnych ścieżkach, ale różnią się amplitudą i momentem zwrotów.

Rysunek 2. Znormalizowane dane źródłowe dla pozyskania drewna i budownictwa mieszkaniowego we wszystkich 16 województwach – każdy kolor odpowiada innemu regionowi.

Rysunek 3. Te same szeregi w ujęciu drugiego kanału – pozwalają zobaczyć, jak zmieniają się amplitudy i synchronizacja między województwami.

Zmienne w czasie powiązania między sektorami

Model tensora jest szczególnie dobrze dopasowany do sytuacji, w których krótko‑ terminowa współzależność między leśnictwem a budownictwem mocno się zmienia. Na Rysunku 4 lewy panel pokazuje chmurę punktów: dla każdego roku bierzemy średnie krajowe poziomy obu zmiennych i zaznaczamy je na płaszczyźnie.

Prawy panel tego samego rysunku przedstawia 5‑letnią korelację kroczącą między tymi średnimi. Krzywa przechodzi od dodatnich wartości, przez okolice zera, aż po wyraźnie ujemne poziomy, co oznacza, że w różnych podokresach sektory potrafią „ciągnąć” w tę samą stronę lub zachowywać się jak wzajemne przeciwwagi. To właśnie tego typu zmiany usiłuje uchwycić operator tensorowy.

Rysunek 4. Po lewej: zależność między średnim znormalizowanym pozyskaniem drewna a budownictwem mieszkaniowym na poziomie kraju (chmura punktów rocznych średnich). Po prawej: 5‑letnia korelacja krocząca, która przechodzi od silnie dodatnich do ujemnych wartości.

Porównanie z klasycznymi benchmarkami

Aby sprawdzić, czy cała konstrukcja ma sens praktyczny, tensorowy operator porównuję z kilkoma dobrze znanymi benchmarkami: prostym modelem stałym, klasyczną regresją liniową, modelem AR(1), niewielkim modelem wielomianowym oraz płytkim drzewem regresyjnym uczonym bezpośrednio na resztach OLS.

Rysunek 5 zestawia wyniki tych porównań: dla każdego modelu patrzymy, w jakiej części województw uzyskuje on najmniejszy średni błąd prognozy w jednym kroku naprzód (zarówno dla błędu średniokwadratowego, jak i bezwzględnego), oddzielnie dla kanału leśnego i budowlanego.

Rysunek 5. Udział województw, w których poszczególne modele osiągają najniższy średni błąd prognozy (MSE lub MAE) dla amplitud pozyskania drewna (F) i budownictwa mieszkaniowego (B).

Dla kanału leśnego model tensorowy wygrywa z konkurentami w zdecydowanej większości województw – zarówno pod względem błędu średniokwadratowego, jak i bezwzględnego. W praktyce oznacza to, że w typowym regionie lepiej oddaje on amplitudy wahań pozyskania drewna niż standardowe modele liniowe czy proste drzewa decyzyjne.

W przypadku budownictwa jego przewaga jest skromniejsza: tensor często dorównuje najprostszym modelom, a czasem ustępuje niewielkiemu drzewu regresyjnemu, co sugeruje, że w tym kanale relacja między resztami a sygnałem liniowym jest bliższa klasycznej, niemal liniowej zależności.

Wnioski i dalsze kierunki

Z perspektywy prognozowania model kwantowo‑tensoryczny okazuje się co najmniej konkurencyjny wobec klasycznych alternatyw, a w opisie pozyskania drewna często daje zauważalnie mniejsze błędy. Z punktu widzenia ekonomiki leśnictwa ważniejsze jest jednak to, że pozwala on spojrzeć na interakcje między lasami i budownictwem jak na ewolucję wspólnego stanu, a nie tylko zbiór osobnych równań.

Artykuł kończy się propozycją kilku rozszerzeń: przejścia do modeli wielosektorowych (np. z udziałem przemysłu meblarskiego), rozbudowy części sprzęgającej o bogatsze „bramki” dwukubitowe oraz połączenia podejścia tensorowego z klasycznymi strukturami ekonometrycznymi, takimi jak modele wektorowo‑autoregresyjne czy układy równań stanu.